La cópula de Li y el mito que causó una crisis financiera global

Quizá recuerdes las noticias de 2008 que anunciaban el desplome de Lehman Brothers y el derrumbe en cadena que le siguió: la crisis financiera global. Aunque sus causas fueron múltiples, desde incentivos perversos en el mercado hipotecario hasta un exceso de apalancamiento en el sistema financiero, en el centro del debate apareció también un modelo matemático.

La llamada cópula gaussiana, popularizada por el matemático David X. Li, quien en el año 2000 publicó el artículo On Default Correlation: A Copula Function Approach, transformó la forma en que los mercados financieros estimaban la probabilidad de que varias entidades incumplieran simultáneamente sus obligaciones de deuda.

Antes de este modelo, la banca enfrentaba un problema importante. Era posible estimar la probabilidad de default individual de una empresa, pero resultaba mucho más difícil estimar la probabilidad de que varias empresas quebraran al mismo tiempo. Este problema era crucial para instrumentos financieros como los CDS (Credit Default Swaps) y para la valuación de portafolios complejos de crédito.

La propuesta de Li fue utilizar cópulas, del latín copula, que significa unión o enlace, para separar dos cosas distintas: por un lado, la probabilidad de default individual de cada activo; por otro, la forma en que esos defaults tienen una relación de dependencia.

La idea era elegante y poderosa: modelar cada riesgo por separado y después conectar todos mediante una función que capturara únicamente su dependencia.

Con el tiempo, esta aproximación se convirtió en una herramienta estándar de Wall Street para estructurar los famosos CDO (Collateralized Debt Obligations), productos financieros respaldados por portafolios de hipotecas. Décadas después, algunos analistas llegaron a señalar a la cópula gaussiana como una de las herramientas matemáticas detrás de la acumulación de riesgos que detonó la crisis. El Financial Times llegó incluso a describir a Li como “the most influential actuary in the world”.

¿Tuvo entonces la cópula gaussiana la culpa de aquel desastre financiero?

La respuesta es no, el problema no estaba en la idea matemática, sino en cómo se utilizó. El modelo suponía que, incluso en situaciones extremas, los activos no se volverían excesivamente dependientes entre sí. En otras palabras, la cópula empleada no era la adecuada para modelar estos periodos de estrés (cabe señalar que la teoría de cópulas ha estado en constante desarrollo, y actualmente existen modelos de dependencia basados en esta área que cuentan con una mayor precisión).

La realidad de una crisis es exactamente la contraria. Cuando el sistema financiero entra en estrés, los activos que normalmente parecen independientes comienzan a caer juntos. Este fenómeno se conoce como dependencia de cola: en los eventos extremos, las correlaciones se intensifican y los contagios se aceleran.

¿Qué es una cópula?

En estadística, una cópula es una función matemática que captura la estructura de dependencia entre dos o más variables, separándola del comportamiento  marginal de cada una.

Piénsalo así: si quieres modelar la probabilidad de que dos bancos quiebren al mismo tiempo, el enfoque tradicional te obliga a asumir una relación relativamente rígida entre ellos. Una cópula permite formular preguntas más realistas: ¿los bancos se contagian más cuando las cosas van mal que cuando van bien? ¿las caídas se transmiten con más fuerza que las recuperaciones?

Ese tipo de asimetrías son comunes en los mercados financieros.

El teorema detrás de todo

La base teórica de este enfoque fue formulada por el matemático Abe Sklar en 1959.

Sklar estableció cómo, a partir de una distribución conjunta de probabilidad, puede obtenerse una función —la cópula— que contiene únicamente su dependencia. Durante décadas el resultado permaneció relativamente desconocido fuera de ciertos círculos matemáticos. Con el tiempo, sin embargo, se convertiría en uno de los pilares de la estadística moderna.

Hoy en día las cópulas se han convertido en una herramienta fundamental en múltiples disciplinas. En finanzas, los modelos modernos combinan cópulas con técnicas de volatilidad y teoría de valores extremos para capturar algo que los modelos clásicos no pueden: que en momentos de crisis activos aparentemente independientes pueden moverse juntos.

En seguros y actuaría, las cópulas forman parte de marcos regulatorios como Solvency II, donde se utilizan para modelar la dependencia entre distintos tipos de riesgo. También comienzan a utilizarse en áreas emergentes como la ciberseguridad, donde eventos como ataques coordinados o fallos en infraestructuras digitales presentan patrones de contagio similares a los de las crisis financieras.

Quizá la señal más clara de que una herramienta matemática ha madurado es cuando trasciende el campo donde nació.

En 2024 el Journal of Multivariate Analysis publicó un número especial dedicado al modelado con cópulas, con un artículo panorámico de Christian Genest, Ostap Okhrin y Taras Bodnar titulado Copula modeling from Abe Sklar to the present day, que documenta su expansión hacia campos como la medicina, la genómica, el clima y la econometría espacial. Incluso se ha comenzado a explorar el uso de cópulas en problemas de cosmología, donde se utilizan para complementar los métodos estadísticos que permiten estimar diversos parámetros cosmológicos que aparecen en los modelos utilizados para describir la estructura de nuestro universo.

La misma herramienta matemática que una vez se utilizó para correlacionar hipotecas en Chicago ahora se aplica para analizar la estructura del cosmos. 

Referencias

Genest, C., Okhrin, O., & Bodnar, T. (2024). Copula modeling from Abe Sklar to the present day. Journal of Multivariate Analysis, 201, 105278.

Li, D. X. (2000). On Default Correlation: A Copula Function Approach. Journal of Fixed Income, 9(4), 43–54.

Genest, C. (2021). A tribute to Abe Sklar. Dependence Modeling, 9(1), 200–224.

Argüelles, R.H. Application of the sample copula of order m  in the estimation of cosmological parameters. Astrophys Space Sci 371, 13 (2026)